Hvor mange gange...

Sammenfoldet A4, 7 gange
A4 (297 x 210 mm, 0,1 mm tyk): 6 gange, 64 lag.
Stjernestrimmel, 6 gange
Stjernestrimmel (446 x 15 mm, 0,1 mm tyk): 6 gange, 64 lag.
Sammenfoldet A4, 8 gange
A4 (297 x 210 mm, 0,1 mm tyk): 8 gange, 256 lag. 297 x 210 mm.
Tabloidavis, 9 gange
Tabloidavis (572 x 398 mm, 0,05 mm tyk): 9 gange, 512 lag (diagram).
Tabloidavis, 9,3 gange
Tabloidavis (572 x 398 mm, 0,05 mm tyk): 9,3 gange, 768 lag.
Stjernestrimmel, 128 lag
Stjernestrimmel (446 x 15 mm, 0,1 mm tyk): Foldebredde halveret 7 gange, 128 lag.
Stjernestrimmel, 256 lag
Stjernestrimmel (446 x 15 mm, 0,1 mm tyk): Foldebredde halveret 8 gange, 256 lag.

...kan man folde et stykke papir sammen?

Ja, hvor mange gang kan du klare? Prøv!

Det er svært at folde mere end de 6 gange A4-papiret til venstre er foldet. Men man kan dog sagtens komme over de 7-8 gange man ofte fejlagtigt hører citeret som øvre grænse, fx på TV 2. Jeg har fx foldet en avisside 9 gange.

Hvorfor er det så svært? Jo, fordoblinger vokser forbistret hurtigt: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128., 256, 512, 1040, ... Vi skriver 2^n for n fordoblinger. Og i foldning af papir slår det yderligere dobbelt: For det første halverer hver foldning længde eller bredde, og dermed papirarealet, hver gang det foldes over. Sjette gang man sammenfolder den 44,6 cm lange stjernestrimmel er længden nede på 446 / (2^6) = 446 / 64 = 7 mm. For det andet fordobles tykkelsen hver gang. Samme stjernestrimmel er efter 6 foldninger oppe på 0,1 * 64 = 6,4 mm. Så allerede her er tykkelsen næsten så stor som længden. Eftersom ombukket hver gang i snit skal "rundt om" tykkelsen, er der ganske enkelt ikke længde nok tilbage til at bukke en gang mere.

De to afgørende faktorer er altså papirets længde (og bredde) og dets tykkelse. Den teoretiske sammenhæng er beskrevet af Britney Gallivan i 2001 mens hun gik i gymnasiet. Formlen er:

A: Formel for foldning samme vej:
L = ((pi * t)/6) * (2^n + 4) * (2^n - 1)
hvor L er papirlængden, t papirtykkelsen og n det antal gange man folder.

Sætter vi stjernestrimlen ind, får vi ligningen 446 = ((3.1415... * 0,1)/6) * (2^n + 4) * (2^n - 1) = 0,05... * (2^(2*n) + 3 * 2^n - 4), eller omtrent 27,4 = 2^n * (2^n + 3). (PS: slå javascript til for at se formelberegner).

Prøv selv formelregneren. Indtast tallene og tryk "beregn":
Længde (L) i mm: Tykkelse (t) i mm:
beregn Antal (n): ? (længde: ? mm, næste længde: ? mm)

Ser man A4-foldningen øverst, skulle man dog tro man kunne folde en ekstra gang. Og, ja, hvis man udnytter både længde og bredde alternerende, skal man bruge en anden formel:

B: Formel for foldning hveranden vej (overgrænse for kvadratisk papir):
W = pi * t * 2^(3*(n-1)/2)
hvor W er sidelængden i et kvadrat, t papirtykkelsen og n det antal gange man folder.

Sætter vi A4 ind, får vi at man kan folde papiret 7 gange.

Prøv selv formelregneren. Indtast tallene og tryk "beregn":
Bredde (B) i mm: Tykkelse (t) i mm:
beregn Antal (n): ? (nødvendig bredde: ? mm, næste bredde: ? mm)

Men det stopper ikke der. Hvis man i stedet folder et antal gange på den ene led og derefter på den anden, skal man bruge to ligninger (dette er ikke bevist, men et "godt gæt" fra mig):

C: Formel for foldning først m gange den ene vej, så n den anden:
B > ((pi * t)/6) * (2^m + 4) * (2^m - 1)
L > ((pi * (t*2^m))/6) * (2^n + 4) * (2^n - 1)
hvor B er papirbredden, L er papirlængden, t papirtykkelsen, m antal foldninger i bredden og n det antal gange man folder i længden. Svaret fås ved at maksimere (m + n) over disse uligheder.

Sætter vi A4 ind, får vi m+n = 5+3 = 8.

Prøv selv formelregneren. Indtast tallene og tryk "beregn":
Bredde (B) i mm: Længde (L) i mm: Tykkelse (t) i mm:
beregn Antal (m+n): ? (fundet m+n: ? + ?, med bredde/længde: ? mm / ? mm).

Og det giver os lige præcis de 8 som lykkes for A4, og 9 for tabloid, i billeder til venstre.

Bemærk at vi ikke har taget hensyn til at det kan være svært at bøje tykt papir, endsige løfte papiret. Fx siger formel (A) at man skal bruge 875 meter papir i 0,1 mm tykkelse for at nå op på 12 sammenfoldninger som Britney Gallivans rekord angives at være for papir. Det er 2960 ark A4 i længden. Da de vejer 5 g stykket, er det 14,8 kg, og tykkelsen til sidst er 2^12 * 0,1 mm = 409,6 mm, eller næste 41 cm. Eftersom A4 kopipapir er ret stift, er det formentlig i praksis ikke muligt. Så Britney må have brugt tyndere og muligvis smidigere papir, og sikkert også papir der er længere end formlens teoretiske minimum.

Så lad mig spørge igen: Hvor mange gange kan du folde et stykke papir?

harmonikafoldning

Flere lag med "snyderegler"

Hidtil har vi overholdt "spillets regler" og hver gang foldet helt over og gennem alle lag, enten på den ene eller den anden led. Vi ændrer spørgsmålet til det svagere: "Hvor mange lag kan man folde et stykke papir i?"

Andet end 2-deling: Fx er tabloidavisens længderetning (572 mm) langt fra foldegrænsen (281 mm). Det kan udnyttes til fx at folde i tredjedele i stedet for halvdele til sidst, se billede øverst til højre. Man vinder her ekstra 256 lag oven i de 512 og får altså 768 lag. Men man ville ikke vinde mere ved at starte med tredelinger, eftersom man så bare ville spise papiret tilsvarende hurtigere.

Undlade at folde gennem alle lag: Dette kan man fx gøre ved at harmonikafolde. Herved folder man altid gennem kun ét lag papir, og man undgår derved at spilde så meget papir på at komme uden om den akkumulerede tykkelse i hver foldning. Dette er vist for stjernestrimmelen ovenfor og til højre. Der er 256 lag, noget der ellers ville kræve 8 sammenfoldninger, altså 2 mere end stjernestrimmelen ellers kan klare.

Teoretisk burde afstanden mellem foldelinjerne i harmonikaløsningen svare til at man tager formel (A) ovenfor og indsætter tykkelsen t, n = 1 og halverer. Det giver t * pi/2. Antallet af lag bliver da 2 * L / (t * pi). For stjernestrimlerne skulle vi altså kunne opnå 2 * 446 / (0,1 * 3,1415...) = 2839 lag, altså ti gange mere end mine 256. I praksis er det dog næppe muligt at lave folder der ligger så tæt og faktisk folde dem sammen i harmonikaform. Det var svært nok at nå de 256. Måske er der nogen der kan komme højere, fx 512 lag?